与三个分离圆都相切的圆怎么作图？

这两点一定是位于直线的同一侧，否则过这两点的圆一定与直线相交，不会相切。只要这两点的连线不与这条直线平行，就有两个解。如下图所示。平行时，一个圆变成了无穷大，成为直线。切点跑到了无穷远。就剩下一个圆了。

下图是作图过程留下的痕迹。作图顺序为：（1）作BA延长线与直线m交于点C。（2）以BC为直径作半圆BCD（当然点D是后面才有的，这里就这样先使用它了）。（3）作BC的垂线AD，其中点D在半圆上。（4）得到三角形BCD（从而根据三角形ACD与BCD相似，得出CD^2=CA×CB）。（5）在m上作CE=CD，CF=CD，从而有CE^2=CA×CB和CF^2=CA×CB（切割线定理的公式形式出现了）。（6）作EO1，FO2（所作圆的半径出现）。（7）作圆（图中红色的两个圆都是解）。

（四）已知一点和两条直线，求作过这点且与两条直线都相切的圆

（一点两直线）

这个情况可以化为“两点一线”的情况。如下图所示，（1）作两条直线所夹锐角的平分线。（2）过定点作角平分线的垂线。（3）作定点关于角平分线的对称点（图中粉色点）。（4）于是，问题就转化为过已知两点（原来的点及它的对称点）且与两条直线中的一条相切的圆（因为过这两点与一条直线相切的圆，必然与另一条直线也相切）。然后，按照前面（三）中已讨论过的作图。

上面四条把只有点和直线的情况都讨论到了。（注意，点一定是所求作之圆经过的，而直线一定是所求作之圆与之相切的。）下面加入圆的情况，所求之圆还可以与已知圆相切（可能会有外切和内切不同的解）。

（五）已知两点和一个圆，求作过这两点且与圆相切的圆

（两点一圆）

下图中点A和B为已知两点，圆a为已知圆。（注意，这两点要么都在圆外，要么都在圆内。一内一外是作不出符合要求的圆的。）红色圆为符合要求的圆之一（外切），另有一解使已知圆与它内切（这里没有画出，这种情况留给您研究）。

作图步骤如下：（1）作过A和B两点的圆（图中为圆b），让它与已知圆相交出两个点（图中为C和D）。（2）延长BA，延长DC，两延长线相交于点E。（3）过点E作已知圆a的切线，切点为T。（3）过点T作切线ET的垂线，与AB的中垂线交于点O。点O即为所求作之圆的圆心。（4）以点O为圆心，OT为半径作圆，即为所求作之圆（图中红色）。（5）提示：另一符合要求的圆与过点E可以作两条圆a的切线有关。作图完毕。关键点：切割线定理，它在作图题中非常有用，起着桥梁的作用。

（六）已知一点和两个分离的圆，求作过这个点且与两圆都相切的圆

（一点两圆）

它可以转化为“两点一圆”的情况。这个转化有些复杂，我下面给出详细说明。首先，下图中，假设所求作的圆已经画出（红色的圆a，圆心为O）。作图过程是这样的：（1）作两个已知圆的公切线BC，再作过两圆圆心O1和O2的直线，两直线交于点D。（2）过点D和点A作直线DA。（3）过A、B、C三点作一个圆m，这个圆与直线DA于是点G。针对大圆m，由割线定理有DC·BD=DA·DG。（4）可以证明，点D，两个切点E和F，及点H位于一条二线上。并且图中标出的三个角（蓝色）是相等的，所以三角形DBE与DCF相似，所以有DC·DB=DF·DE。（5）由上面的（3）和（4）的两个等式可以得到DF·DE=DA·DG。由割线定理，这个式子正说明E、F、A、G四点共圆，所以，我们就把这个复杂的作图问题转化为“过两定点A和G且与圆O1（圆O2也行）相切的圆”这个在（五）中已经讨论过的问题。

追问：本情况有几个解？想像一下，让上图中过A和G两点的红色圆变大，您是否可以想像出存在一个位置，正好把两个定圆纳入红色大圆之中并使两个定圆都与红色圆相内切？再想像一下两个定圆之间还有两条内公切线，它们都与两圆圆心连线相交于两圆之间，用类似的方法可以作出另外两个符合要求的圆。所以，本题一共四个解。

（七）已知三个互相分离的圆，求作与它们都相切的圆

（三圆）

看懂下图。三个深蓝色的圆为已知的三个互相分离的圆。把两个大一些的圆的半径都缩小小圆半径长（图中蓝色线段），得到两个各与原来的圆同心的圆（图中细线圆），原来的两个大一些的圆当然还要保留着。然后，作一个过小圆圆心且与新作两圆都相切的圆（图中橙色），然后，再作一个与橙色圆同心但缩小了小圆半径长度的圆，则所得之圆即为所求作之圆（图中红色）。也就是说，把“三圆情况”转化为“一点两圆”的情况，而“一点两圆”的情况我们前面（六）中已讨论过。

我们本期讲了七种可能的情况，内容已经很多了，文章也够长了（我会放到菜单中供随时查阅）。能够一点点看到这里也很不容易了。还有三种情况我们暂时不讲了，留作以后：

（八）两线一圆（即求作一圆，它与这两条直线和定圆都相切） （其中这一情况在上一期《又一有趣的六圆定理》中是讲过的）

（九）一线两圆（即求作一圆，它与这条直线和这两个定圆都相切）

（十）一点一线一圆（即求作一圆，它过一个定点且与定直线和定圆都相切）

读了这么多的数学，我们来放松一下吧，点下面的红色标题或正文左下角的蓝字“阅读原文”，都可以转到一个叫“文学读书笔记”的公众号。内容也很精致、很有趣！我刚创建的，第一篇文章。谢谢关注！

返回搜狐，查看更多