晚上家里在讨论买新的电饭煲的事情，现在新的电饭煲与老式圆柱型不同，基本都是偏向于球型的内胆。这让我突然想到关于体积利用率的经典问题：同表面积的球体、圆柱体和正方体，哪个体积更大？又或是反过来，同体积，哪个表面积更大？（圆柱体高、正方体边长为2r）
直觉上和以前的经验与记忆来讲，肯定是球体的表面积利用率更大，球体>圆柱体>正方体。于是速查ChatGPT验证一下。
这涉及到数学几何学中的形状优化问题，其中我们试图在给定一定的限制条件下最大化或最小化某个特定的性质。在这个情境下，我们考虑的是表面积相同的三种几何体：球体、圆柱体和正方体。
表面积相同这个条件是固定的，假设我们有一定数量的材料用于构造这些几何体，这些材料的总表面积是一样的。现在问题是，如何在这些材料中容纳更多的体积，因为我们关心的是物体的体积。
球体在给定表面积下具有最大的体积-表面积比例。这是因为球体是所有具有相同表面积的几何体中，对体积利用率最高的形状。球体的体积与半径的立方成正比，而表面积与半径的平方成正比。因此，通过调整球体的半径，我们可以在给定的表面积下最大化体积。
相比之下，圆柱体和正方体的体积-表面积比例不如球体高。它们的体积增长速度不如球体快，因此在给定相同表面积的情况下，它们的体积相对较小。
这个结论可以通过数学计算和形状优化的理论来证明，但简单来说，球体能够在给定表面积下容纳更多的体积，使其在这个条件下具有最大的体积。
黑色部分的描述很符合直觉，但是以防万一还是推算一下。下面是三者的表面积与体积公式：
由于a=2r，所以最后的答案都是3/r。
那么问题来了，既然都是3/r，那么为什么圆柱体和正方体的“体积增长速度不如球体快”呢？
抱着“结论没错”的心态，马上推算出症结所在：上面公式中的r是变量，对于相同表面积/体积的球、圆柱、立方来讲，r是不同的。假如表面积相同，那么比例就是4πr1^2（约等于12.5r1^2）=6πr2^2（约等于19r2^2）=24r3^2，也就是说球的半径最大，立方体的半径最小，在这个前提下，圆柱体和正方体的体积-表面积比例不如球体高。
虽然单独观察问题或是结果都非常简单，但是仔细观察过程却又绕进了看似悖论的死胡同中去。实质上也只是久疏运用忘记了罢了，不过这种“新鲜感（？）”还是让我有些忍俊不禁...
12/6/2023
by Yugar